6.5.1 位の系


　われわれはさらに,“量形式”,“量の系”の上位概念として“位(くらい)形式”,“位の系”の概念を導入することにしよう。

　先ず，数の系（Ｎ,＋,×）に対し，これの差の系 (ND,＋,×) を導入する。ＮはNDの部分になる──Ｎの＋が群算法であればＮとNDは一致する。

　つぎに，Ｎ0＝Ｎ∪{０} とおいて，系：

(Ｎ0,((ND,＋),(ND,＋,×),×）,＋)

を位形式と定め，これと同型な系

(Ｓ,((Ｑ,＋),(ND,＋,×),×),＋)

を位の系と呼ぶ。──ここで，
  1. Ｓの要素の身分は“位”；
  2. Ｑの要素の身分は“変位”；
  3. 最後の項の＋の身分は,“位に対する変位の作用"(註1)
のように読む。実際，Ｘ,Ｙ∈Ｓに対しＸ＋ｘ＝Ｙとなるｘ∈Ｑ（これは一意的に存在する）を，Ｘに対するＹの変位と呼び，
で表わす。

　つぎのことが成り立つ(註2)：
  1. Ｑには零元 0 が存在し，かつＸ∈Ｓに対し
    Ｘ＋0＝Ｘ

  2. Ｘ∈Ｓとｘ,ｙ∈Ｑに対し，
    (Ｘ＋ｘ)＋ｙ＝Ｘ＋(ｘ＋ｙ)

  3. Ｘ∈Ｓとｘ,ｙ∈Ｑに対し，
    Ｘ＋ｘ＝Ｘ＋ｙ ｘ＝ｙ

　Ｓには基準Ｏ(オー)が存在する──即ち，Ｓの要素Ｏでつぎの条件を満たすものが存在する(註3)：


（註１） Ｎ≠NDであれば，作用＋はつねには定義されない。

（註２） （Ｓ,((Ｑ,＋),(ND,＋,×),＋,×),×),＋) は (Ｎ0,((ND,＋,×),＋),(ND,＋,×),＋,×),×）,＋) と同型。一方，
  1. ND,＋,×)には零元 0 が存在し，かつＸ∈Ｎ0に対し，Ｘ＋0＝Ｘ；
  2. Ｘ∈Ｎ0とｘ,ｙ∈ND,＋,×)に対し，(Ｘ＋ｘ)＋ｙ＝Ｘ＋(ｘ＋ｙ)；
  3. Ｘ∈Ｎ0とｘ,ｙ∈ND,＋,×)に対し，Ｘ＋ｘ＝Ｘ＋ｙ ｘ＝ｙ。
（註３） (Ｎ0,((ND,＋),(ND,＋,×),×）,＋) と（Ｓ,((Ｑ,＋),(ND,＋,×),×),＋) の同型において，０∈Ｎ0 に対応するＳの要素が所期のＯ。