9.2 比例関数を要素とする量
“時間”と“距離”という二つの量の系からの“速さ”という量の系の定立は，時間と距離の比例関係全体が“量の系”として読めることを見出し，かつそのように読む，というものである。この内容は，つぎのように一般化される。
Ｎを，乗法×が可換な数の系とする。
量の系（Ｑ1,Ｎ)，(Ｑ2,Ｎ）に対し，比例関数：Ｑ1─→Ｑ2 の全体をＨom(Ｑ1,Ｑ2）で表わす。
Ｈom(Ｑ1,Ｑ2) の加法＋を
ｆ＋ｇ：ｘ 
ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)
で定義し(註1)，Ｈom(Ｑ1,Ｑ2) の要素ｆに対するＮの要素ξの作用ｆ×ξを
ｆ×ξ：ｘ ｆ(ｘ)×ξ
で定義する(註2)。
このとき，系 ((Ｈom(Ｑ1,Ｑ2),＋),(Ｎ,＋,×),×) は量の系になる。──単位ｕi∈Ｑi（i＝1,2）に対しｕ(ｕ1)＝ｕ2 で定まる比例関数ｕ∈Ｈom(Ｑ1,Ｑ2) が，これの単位になる(註3)。
例えば,“速さ”の系は，量の系としての“時間”の系 ((Ｑ1,＋),(
+,＋,×),×) と“距離”の系 ((Ｑ2,＋),(+,＋,×),×) に対する，量の系 ((Ｈom(Ｑ1,Ｑ2),＋),(+,＋,×),×) と解釈できる。
（註１） (ｆ＋ｇ)(ｘ×ξ)＝ｆ(ｘ×ξ)＋ｇ(ｘ×ξ)＝ｆ(ｘ)×ξ＋ｇ(ｘ)×ξ＝(ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ))×ξ＝(ｆ＋ｇ)(ｘ)×ξ。
（註２） (ｆ×ξ)(ｘ×η)＝ｆ(ｘ×η)×ξ＝(ｆ(ｘ)×η)×ξ＝ｆ(ｘ)×(η×ξ)＝ｆ(ｘ)×(ξ×η)＝(ｆ(ｘ)×ξ)×η＝(ｆ×ξ)(ｘ)×η。
（註３） (1) ｆ∈Ｈom(Ｑ1,Ｑ2) に対し，ｆ(ｕ1)＝ｕ2×ξとｆ＝ｕ×ξは同値。よって，関数ｕ*：
Ｈom(Ｑ1,Ｑ2) ─→Ｎ；
ｕ×ξ ξ
が得られ，かつこれは１対１対応。
(2) (ｆ×ξ＋ｆ×η)(ｘ)＝(ｆ×ξ)(ｘ)＋(ｆ×η)(ｘ)＝ｆ(ｘ)×ξ＋ｆ(ｘ)×η＝ｆ(ｘ)×(ξ＋η)＝(ｆ×(ξ＋η))(ｘ)。よって，ｆ×ξ＋ｆ×η＝ｆ×(ξ＋η)。特に，ｕ*(ｕ×ξ＋ｕ×η)＝ｕ*(ｕ×(ξ＋η))＝ξ＋η＝ｕ*(ｕ×ξ)＋ｕ*(ｕ×η)。
(3) ((ｆ×ξ)×η)(ｘ)＝(ｆ×ξ)(ｘ)×η＝(ｆ(ｘ)×ξ)×η＝ｆ(ｘ)×(ξ×η)＝(ｆ×(ξ×η))(ｘ)。よって，(ｆ×ξ)×η＝ｆ×(ξ×η)。特に，ｕ*((ｕ×ξ)×η)＝ｕ*(ｕ×(ξ×η))＝ξ×η＝ｕ*(ｕ×ξ)×η。