確率分布 P(Ｘ＝ｎ) に対し，これの「分散」──伝統的に V(Ｘ) と表記──を，つぎのように定義する：
V(Ｘ) ＝ Σ{ (n ー Ｅ(Ｘ))2 × P(n) }
| 註： |
＜２乗＞は，「Σ{ (n ー Ｅ(Ｘ)) × P(n) } ＝ 0」への対策。
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| 例. |
サイコロの＜ｎの目が出る＞にｎを対応させた確率分布
{ P(Ｘ＝ｎ) | n＝1, 2, ‥‥‥, 6 )
の場合，「偏りのないサイコロ」では，
P(1) ＝ ‥‥‥ ＝ P(6) ＝ 1/6, Ｅ(Ｘ) ＝ 3.5
より，
V(Ｘ) ＝ (1ー3.5)2 × 1/6 ＋ (2ー3.5)2 × 1/6 ＋ ‥‥‥ ＋(6ー3.5)2 × 1/6
＝35/12
≒ 2.92
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確率分布 P(Ｘ＝ｎ) に対し，これの「標準偏差」──伝統的に σ(Ｘ) と表記──を，つぎのように定義する：
| 例. |
「偏りのないサイコロ」
の場合 :
σ(Ｘ) ＝ √ V(Ｘ)
＝ √ 2.92
≒ 1.71
「3, 4 に偏りのあるサイコロ」
の場合 :
Ｅ(Ｘ) ＝１× 1/12 ＋２× 1/12 ＋３× 1/3
＋４× 1/3 ＋５× 1/12 ＋６× 1/12
＝ 3.5
V(Ｘ) ＝ (1ー3.5)2 × 1/12 ＋ (2ー3.5)2 × 1/12 ＋ (3ー3.5)2 × 1/3
＋ (4ー3.5)2 × 1/3 ＋(5ー3.5)2 × 1/12 ＋(6ー3.5)2 × 1/12
≒ 1.58
σ(Ｘ) ＝ √ V(Ｘ)
＝ √ 1.58
≒ 1.27
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