 ）の要素，一般に体Ｋ上の線型空間（D,Ｋ)(註)の要素──の表現のアイデアは,“単位による測定”です。
“長さ",“重さ",“容積",“時刻/時間",“速さ”のような量は，実アフィン空間と見なせます。“長さ”を例にして言うと，先ず長さ全体の集合Eを仮構します。二つの長さに対しては，日常語レベルで，一方の長さに対する他方の長さの差＝変位(ベクトル)というものを対象化できます。そこでこの変位全体の集合Dを仮構します。このE，Dに対して，前節で述べた方法をそっくりそのまま用いて，実アフィン空間（E,D, ）を構成できます。(但しこの場合には，Eの要素に対するDの要素の作用は，つねには定義されない──例えば，長さ〈3ｍ〉に対する〈5ｍ減〉の作用は定義されない。)
長さのこの定式化では，足したり，実数倍ができるのは，長さそのものではなく，長さの差＝変位(ベクトル)の方です。 特に,“単位による測定”はDの上の事態です。 即ち，Dの一つの要素u≠0 を“単位”の身分で固定し，x  Dに対しx＝u×ξとなるξを求めることが測定です (そして，ξが単位uに対するxの測定値ということになります)。
ベクトルの表現のアイデアは，いま述べた意味での“単位による測定”です。 但しベクトル空間（D,Ｋ）一般の場合については，一つの“単位”で全てのベクトルが測られるというようにはなりません。 そこでわたしたちは“単位”および“単位による測定”の概念を拡張します。それが,“基底”および“基ベクトルの線型結合への展開”です。
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