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線型写像の概念

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　“線型写像”は,“比例関数”の概念の拡張です。
　比例関数は，Kが実数体あるいは有理数体であるときの１次元線型空間（D,K),(D',K）に対する関数f:D─→D'で，条件：

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ^(註1)

を満たすもの，というように定式化できます。実際，比例関数が量と量の間で考えられているとき，量は実数体あるいは有理数体上の１次元線型空間として効いています。 また，比例関数が実数と実数，あるいは有理数と有理数の間で考えられているとき，実数は (１次元)線型空間としての（(,＋),(,＋,×),×）の第１因子の方のの要素として，同様に有理数は (１次元)線型空間としての（(,＋),(,＋,×),×）の第１因子の方のの要素として，それぞれ実効している^(註2)。
　“比例関数”の“線型写像”への拡張は，係数体および次元の一般化です。 そして,“線型写像”へと引き継ぐものは，比例関数の形式としての

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ

と，比例関数の価値としての

《単位の写る先がわかれば全ての要素の写る先がわかる》

です。
　次元の一般化で,“単位”は“基底”の概念へと拡張されます。そこで，価値の方は，

《基底の要素の写る先がわかれば全ての要素の写る先がわかる》

のようになります。しかしこの価値の実現のためには，形式

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ

だけでは足りません。この事態は，形式

f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

を加えることで解決されます。



注意：	この条件の追加は，比例関数から“線型写像”への自然な拡張を損なうものではありません。実際，比例関数の場合,“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”は“f(x×ξ)＝f(x)×ξ”の含意になっています(註2)。


　こうして,“比例関数”の拡張としての“線型写像”は，条件

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

を満たす写像f:D─→D'として定義されることになります。

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（註１） 小学校算数では，これを“一方が２倍，３倍，････になるときもう一方も２倍，３倍，････になる”という言い回しで指導しています。
（註２） 一般に，体（K,＋,×）からは，１次元線型空間（(K,＋),(K,＋,×),×）が導かれる。──体（K,＋,×）から群（K,＋）を分離し，乗法×によって群（K,＋）の要素に対する体（K,＋,×）の要素の作用を定義します。
（註３） x＝u_×ξ，y＝u_×ηとすると，

f(x＋y)＝f(u×(ξ＋η)) ＝f(u)×(ξ＋η) ＝f(u)×ξ＋f(u)×η ＝f(u×ξ)＋f(u×η) ＝f(x)＋f(y)