Up | English

線型変換

---

　同一の線型空間上の線型写像を，線型変換と呼ぶ。線型写像の特殊としての線型変換は,“枠の線型変換"(Ch.4)に対するところの“絵の線型変換”です。
　絵の線型変換も枠の線型変換も，座標変換：

(ξ1,････,ξn) (η1,････,ηn)；
ηi＝ξ1×α1i＋ ････ ＋ξn×αni　（i＝1,････,n）

の形に表現されます。枠の線型変換の記述としての座標変換は，絵の線型変換の記述として読める。そして，絵の線型変換の記述としての座標変換は，その係数がつくる行列

の階数が線型空間の次元と同じであれば──これは，絵の線型変換が１対１であるための必要十分条件──枠の線型変換の記述として読める。
　実際，座標変換

に対する“枠の変換”の読み方は，

(*)《線型空間（D,K）の二つの基底{u1, ････,un},｛v1,････,vn｝に対し， ui＝v1×αi1＋ ････ ＋vn×αin　（i＝1,････,n） u1×ξ1＋ ････ ＋un×ξn ＝v1×η1＋ ････ ＋vn×ηn　》

“絵の変換”の読み方は，

(#)《線型空間（D,K）の基底｛u1,････,un｝と線型変換(写像) f:D─→Dに対し， f(ui)＝u1×αi1＋ ････ ＋un×αin　（i＝1,････,n） f(u1×ξ1＋ ････ ＋un×ξn) ＝u1×η1＋･･･＋un×ηn 》

そこで“枠の変換"(*)は，

f(ui)＝u1_×αi1＋ ････ ＋un_×αin　（i＝1,････,n）

で定義される線型変換(写像)fによる“絵の変換”と区別できず，逆に,“絵の変換"(#)は，基底｛f(u1),････,f(un)}──これが基底になるための条件が,“行列（αij）の階数は空間の次元と一致する"──を基底｛u1,････,un｝に取り替える“枠の変換”と区別できない。