Up | English

二点間の距離とベクトルの長さ

---

　“現空間”については,“二点間の距離”というものが対象化されています。 そこで,“現空間”の数学的定式化には,“二点間の距離”の定式化も含めなければなりません。
　“現空間”の数学的定式化のここまでの段階──即ち,“現空間”を実アフィン空間（E,D,）として定式化している段階──では，二点に関する概念としては“一方の点に対する他方の点の変位(ベクトル)”が導入されています。 わたしたちは“二点X，Y間の距離”を“ベクトルXYの長さ”として定式化する^(註1)。
　“ベクトルの長さ”の定義は，一定の条件を満たす関数

L：D ─→ ⁺

の定義である(ここで，⁺は≧0 である実数全体の集合)。──xDに対し，L(x)が“ベクトルxの長さ”と読まれる。なお，これの表記として |x| を用いることにします。
　関数Lに関する“現空間”の論理は，

L(x)＝0 x＝0
L(x_×ξ)＝L(x)_×|ξ|
L(x)＋L(y)≧L(x＋y)

のように整理される^(註2)。
　わたしたちはこの条件を満たす関数Lをつくらねばなりません。 そしてこれの前に，このような関数を導入できるためには線型空間（D,Ｋ）の条件として何が要請されることになるかを，明らかにしなければなりません。
　関数Lが得られれば，点の対 (X,Y) に対しその間の距離を対応させる距離関数

d：E×E ─→ ⁺

は，

d(X,Y)＝L(XY)

で定義される^(註)。
　距離関数dに関する“現空間”の論理は，

d(X,Y)＝0 X＝Y
d(X,Y)＝d(Y,X)
d(X,Y)＋d(Y,Z)≧d(X,Z)　(三角不等式)

のように整理されるが，関数Lによってここで定義した関数dは，確かにこの条件を満たしています。
　なお，関数

f：	(X,Y) XY； E×E ─→ D

を導入するとき，関数Lとdは図式

を可換する (即ち，dはfとLの合成に一致する) 関係にある。



(註１)	“二点間の距離”を“ベクトルの長さ”に帰着させて定義するここでのやり方は，あくまでも論理の上の処置(方便)です。 生活実践的には，点とベクトルの概念が相互依存的である(§3.2,(註１))のに対応して，二点間の距離とベクトルの長さの概念も相互依存的です。 実際，L(x)は，X+x＝YとなるX，Yに対するd(X,Y)のことです。 　生活実践の上では，二点間の距離およびベクトルの長さは，所与ではなく人為です。 それは人の“測る”行為によって存在します。そして行為としての“二点間の距離を測る”と“一方の点に対する他方の点の変位(ベクトル)の長さを測る”の間には，区別が立たない。行為として両者を違えることはできない──あなたはできるか？
(註２)	この形式において“ベクトルの長さ”の概念を一般化したのが“ノルム”です。 ノルムとしてのL(x)の表記は ||x|| です。