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ベクトルの長さと方向

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　以下，計量線型空間として，計量形式Qが与えられている実線型空間 (D, ) を考える。
　x D に対し“x の長さ |x| を

|x| ＝ (Q(x))^1/2

で定義します。 　つぎに，方向を，長さ１のベクトルのことと定義する^(註)。
　このとき，各ベクトルxは

x＝(x_×|x|-1)_×|x|

のように，方向と大きさに分解されることになります。ベクトルに対する“方向と大きさをもつ”の言い回しの理屈です。
　計量形式Qの内積Bに対する

B(x,y)＝0

は，Q(x＋y)＝Q(x)＋Q(y) の場合です。 そして平面におけるQ(x)＝|x|² の解釈では，Q(x＋y)＝Q(x)＋Q(y) はxとyが直交すること (記号でxy) を意味しています。

|x＋y|2＝|x|2＋|y|2

そこで翻って，計量線型空間一般に対してxyをB(x,y)＝0 で定義します。



(註)	日常語の“方向”は，決して“長さ１のベクトル”ではありません。日常語的な用法に即して“方向”を定式化しようとすれば，ベクトルの同値類として“方向”を導入することになります。実際,“長さ１のベクトル”は，この場合の〈方向＝同値類〉の代表元の意味をもっています。 類の表現をそれの代表元で行なうというやり方は，数学ばかりではなく生活の中に頻繁に見出されるが，ここでの“方向＝長さ１のベクトル”の定義は，これです。