積分法 (→「原始関数」) 作成: 2006-07-23
更新: 2008-07-18

    導入素材の
      連続な関数ｆから，つぎの条件を満たす関数Ｆのグラフを作図 :
      　　点 ( x, F(x) ) での接線の傾きが f(x)
    を一般化する：
      「関数 f とこれの原始関数 F」

    すなわち，つぎのようにする：

    1. 「点 ( x, F(x) ) での接線の傾きが f(x)」となる F(x) は，つぎのようになる：
        lim
        n→∞        		 n
        ∑
        k=1        		 f(xk)·Δxk 　　( x ＝ n
        ∑
        k=1        		 Δxk )

    2. 任意の定数 C に対するつぎの形の関数を,「f の原始関数」と呼ぶ：
      　x 　C ＋　 lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(xk)·Δxk 　　( x ＝ n
      ∑
      k=1      		 Δxk )

    定義より，f の原始関数 F と定数 C に対し G(x) ＝ F(x) + C で定義される関数 G は，f の原始関数になる。

    lim
    n→∞    		 n
    ∑
    k=1    		 f(xk)·Δxk  の形を模して，つぎの記号法を導入する：
      lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(xk)·Δxk 　─(簡便表記)→　 ∫ f(x) dx

    そして，この ∫f(x) dx を，f の原始関数の一般表現のように用いることにする：
      F(x) ＝  ∫f(x) dx

    しかしこうすると，左辺の「x」が右辺には現れていない。
    そこで，つぎの表現にする：
      F(x) ＝　 x
      ∫
             		 f(x) dx
    さらに， b
    ∫
    a    		 f(x) dx 　の表記を，つぎのように導入する：
      b
      ∫
      a      		 f(x) dx  ＝  b
      ∫
             		 f(x) dx  ー  a
      ∫
             		 f(x) dx

    このとき，つぎが成り立っている：
      b
      ∫
      a      		 f(x) dx 　＝ F(b) ー F(a)


    注意：
    1. 関数 f の原始関数を求めることに対し，「ｆを積分する」という言い方がある。

    2. 原始関数の記号法：
        ∫ f(x) dx
      は，もともと論理的に曖昧である。──実際，類 (原始関数の類) を意味しつつ対象 (原始関数の一つ) として使われている。
      また，この表現に対し，「f の不定積分」という言い方がある。

    3. 微分と積分の関係
        f
        (F の導関数)        		 　 微分
        ←──
        ──→
        積分        		 　 F
        (f の原始関数)