Up 行列の導入  

  1. 「授業を論理的に構成する」で指導案をつくると，「行列の導入」の場合はだいたいつぎのようになります：

    「線型変換の計算」を主題化 前回は，「線型変換」の作図をした。

    今度は，(ｘ1, ｘ2) に対応する (ｘ'1, ｘ'2) を計算で求められないか，考えてみる。
    問題は，つぎの (ｘ'1, ｘ'2) を求めること：
    　 ｕ'1 ｘ ｘ1 ＋ ｕ'2 ｘ ｘ2 ＝ ｕ1 ｘ ｘ'1 ＋ ｕ2 ｘ ｘ'2
    計算 ｕ'1, ｕ'2 を ｕ1, ｕ2 で表せば，これを左辺に代入することで右辺の形の式になる。
    そこで，つぎのようにする：
    　 　ｕ'1 ＝ ｕ1 ｘ ａ11 ＋ ｕ2 ｘ ａ12
    　 　ｕ'2 ＝ ｕ1 ｘ ａ21 ＋ ｕ2 ｘ ａ22
    計算すると，
    　 　ｘ'1 ＝ ｘ1 ｘ ａ11 ＋ ｘ2 ｘ ａ21
    　　 ｘ'2 ＝ ｘ1 ｘ ａ12 ＋ ｘ2 ｘ ａ22
    行列の導入 (ｘ1, ｘ2) に対応する点の座標計算は，４つの数
    で決まった。
    そこで，これらを括って，(ｘ1, ｘ2) の対応先をつぎのように表すことにする：

    この式の読み方は，
    (ｘ1, ｘ2)  の    倍
    また，
    を「行列」と呼ぶことにする。
    ベクトルに対する行列の作用の計算規則 (アルゴリズム)
    (ｘ1, ｘ2) の対応先は，これの 倍。
    そして，対応先は既に計算して求めた：
    　　 (ｘ1 ｘ ａ11 ＋ ｘ2 ｘ ａ21, ｘ1 ｘ ａ12 ＋ ｘ2 ｘ ａ22 )
    この二つを「＝」でつないでみる：


    左辺から右辺の式が書けるような規則性が見つからないか？
    （生徒に見つけさせる）
    こんな規則になっているわけだ：


    この規則でほんとうに対応先が求まるかどうか，最初の図形で確かめてみよう。
    時間の都合から，この点だけやってみよう。
    （一つの点を選んで，計算してみせる）
    収束 今日の学習はここまで。
    今日学習したことの練習は，次回の授業でする。
    まとめ 今日は，線型変換の計算を導いた。
    計算を考えることで，「行列」が出てきた。
    図形の変形は，「行列倍」としてできることになった。


    注意 : この授業では，つぎの３つの区別を曖昧にしています：
      点の座標，点の位置ベクトル，ベクトル

    行列の作用はベクトルに対する作用です。
    ところが，この授業だと，「座標に対する作用」と誤解されてしまいます。
    しかし，点の座標，点の位置ベクトル，ベクトルの区別を正しく行えるには，論理を厳格に運用できる力が必要です。この力は，ここでは生徒に要求できません。（大学の数学の専門課程で鍛える力ということになります。）