Up | 「割り算には等分除と包含除がある」 | 作成: 1996-12-24 更新: 2004-09-29 |
「数は量の抽象」で「割り算には等分除と包含除がある」が言い出されるのは,自然数・個数で以て数・量を考えているからである。 実際,「割り算には等分除と包含除がある」は,自然数・個数のところでしか持ち堪えられない。 自然数・個数で考えているにしても,どうして「割り算には等分除と包含除がある」となるのか? 「数は量の抽象」では,自然数の割り算も「量計算の抽象」として意味づけなければならない。 そしてこれより,自然数の割り算に「等分除・包含除」の区別がつけられることになる。 数学では,「割り算」とは記号「÷」の文法のことであり,そしてつぎが「÷」の文法である: ![]()
さて,二つの式 m×□=n,□×m=n は,つぎの形式の中に現れる: ![]() 自然数の場合,左の形式は「包含」の問題に適用できる:
「12人に対し,3人がけの椅子をいくつ用意すると全員すわれる?」 そして,右の形式は「等分」の問題に適用できる:
「12人が3つの長椅子に同じ人数だけ座ると,一つの長椅子には何人?」 ![]() 「n÷m」に「等分」と「包含」の二つの意味があるのではない。 ──つぎのようになる:
要点は,計算の道具と計算の対象の区別である。 ところが,「数は量の抽象」論は,「計算の道具は計算の対象の抽象」論である。 そこで,「数は量の抽象」論では,「n÷m」に直接「等分」「包含」の2つの意味を考えてしまうことになる。 学校数学での自然数の割り算の指導は,この「等分除と包含除」である。 「12 ÷3」の意味は?と問われた生徒は,これが適用される等分ないし包含の問題を答えて,正解したことになる。 「3/2 ÷ 4/5」の意味は?と問われると,もう答えられない。──正負の数や複素数の場合は,言わずもがな。 そして,これは教員においても同じである。 ![]() |