Up | 「1と見る」の数学 |
量の系Q (例えば,重さ) の代数的構造を考える。 Qの要素2つに対しては,和が考えられている。 Qの要素q1とq2に対し,これの和をq1+q2で表すとしよう。(「+」は太字の+) Qの要素に対しては,数の系N (例えば分数) の要素の倍作用が考えられている。 Qの要素qとNの要素nに対し,qのn倍をq×nで表すとしよう。(「×」は下付の×) Nの要素2つに対しては,和と積が考えられている。 Nの要素n1とn2に対し,これの和と積をそれぞれ n1+n2 ,n1 × n2 で表すとしよう。 数の+と×は,つぎの関係で条件付けられている (すなわち,これが+と×の定義):
(q×n1) ×n2 =q× (n1×n2) そして,これらの意味をすべて込めて,この構造をつぎのように表すとしよう:
以上で,量の代数的な構造を規定したことになる。 このような数学に慣れていない読者には,これだけでも相当疲れてしまうかも知れないが,「1と見る」にまで行くにはまだ一山ある。 すなわち,数の系 (N, +, ×) を素材にして,
これは,量の構造をもつものになる──すなわち,量になる: さらに,Q の要素gに対して定まるつぎの対応fが,( (Q, +), ×, (N, +, ×) ) と ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) の間の同型対応になる。
![]() さて,ここに出てきた「同型f」が「1と見る」である。 ──実際,gを1と見ているわけである。 例えば,Qを重さの集合,Nを分数の集合,gを「グラム」としよう。 教員は,生徒につぎのことをさせる:
2gと3gの和を,2+3で計算する。 2gの3倍を,2×3で計算する。 このとき教員が生徒にさせていることは,実はつぎの計算 (式変形) である:
f(g × 2 + g × 3) = f(g × (2 + 3) ) = 2 + 3 f((g × 2 ) × 3) = f(g × (2 × 3) ) = 2 × 3 |