- 運動方程式
\[
(E)\quad E( {\pmb{ q }} ) = 0, \quad {\pmb{ q }} = ( q_1, \cdots , q_f )
\]
- 関数
\[
L( {\pmb{ q }}, \dot{{\pmb{ q }}} )
\]
で，条件
\[
(L)\quad \frac{ d }{dt} \bigl( \frac{ \partial L }{ \partial \dot{ q_i } } \bigr)
- \frac{ \partial L }{ \partial q_i }
= 0
\]
を満たすものを，Lagrangiant と呼ぶ。
Lagrangiant \( L \) の条件 (L) が運動方程式 (E) と同じになるとき，\( L \) は \( E \) の Lagrangiant であるという。
- 関数
\[
H( {\pmb{ q }}, {\pmb{ p }} )
\]
で，条件
\[
\begin{align}
(H)\quad &\frac{ \partial H }{ \partial q_i } = - \dot{ p_i } \\
&\frac{ \partial H }{ \partial p_i } = \dot{ q_i } \\
\end{align}
\]
を満たすものを，Hamiltonian と呼ぶ。
Hamiltonian \( H \) の条件 (H) が \( {\pmb{ p }} \) を運動量としたときの運動方程式 (E) と同じになるとき，\( H \) は \( E \) の Hamiltonian であるという。
- Lagrangiant \( L \) に対し，
\[
H = \sum_{i=1}^f p_i\ \dot{q_i} - L, \quad p_i = \frac{ \partial{ L } }{ \partial{ \dot{q_i} } }
\]
は Hamiltonian になる。
- Hamiltonian \( H \) の変数 \( q_1, \cdot, q_f, p_1, \cdot, p_f \) を，正準変数 (canonical variables) と呼ぶ。
- Hamiltonian \( H( q_1, \cdot, q_f, p_1, \cdot, p_f ) \) に対し座標変換
\[
\begin{align}
(T)\quad &q_i = q_i( Q_1, \cdot, Q_f, P_1, \cdot, P_f ) \\
&p_i = q_i( Q_1, \cdot, Q_f, P_1, \cdot, P_f )
\end{align}
\]
をしたときの
\[
K( Q_1, \cdot, Q_f, P_1, \cdot, P_f )
\]
が再び Hamiltonian であるとき，(「(T) は正準変数を正準変数に変換する」の意味をとって)，(T) は \( H \) の正準変換 canonical transformation であるという。
- Hamiltonian \( H( q_1, \cdot, q_f, p_1, \cdot, p_f ) \) に対する座標変換
\[
q_i = q_i( Q_1, \cdot, Q_f, P_1, \cdot, P_f ) \\
p_i = q_i( Q_1, \cdot, Q_f, P_1, \cdot, P_f ) \\
H( q_1, \cdot, q_f, p_1, \cdot, p_f ) \ \longrightarrow \ K( Q_1, \cdot, Q_f, P_1, \cdot, P_f )
\]
が正準変換であるためには，
\[
\sum_{i=1}^f p_i \dot{q_i}\ - H( {\pmb{ q }}, {\pmb{ p }} )
= \sum_{i=1}^f P_i \dot{Q_i}\ - K( {\pmb{ Q }}, {\pmb{ P }} ) + \frac{ dW }{ dt }
\]
となる関数 \( W \) が存在することが必要十分。
\( W \) をこの正準変換の母艦数 (generator) と呼ぶ。
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