ラグランジアンは，それのオイラー=ラグランジュ方程式が運動方程式と同じになるようにつくられるものである。
ラグランジアンをつくろうとするのは，これの形が座標の取り方に依存しないためである。
しかし「座標の取り方に依存しない」には但し書きが付く：
《座標は標準的── "canonical" (「正準」と訳される) ──であることが必要》
即ち，実際には「座標の取り方に依存しない」とはならない座標も存在するわけである。
そこで，「座標の取り方に依存しない」を満たすものを「正準」と定義して，正準座標だけを考えることにする。
ラグランジアンの側から，座標の「正準」を定義するわけである。
先に，ニュートン力学の運動方程式のラグランジアンを x-y-z でつくった：
\[
L( x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} ) = T - V
\]
よって，ニュートン力学の運動方程式のラグランジアンに関して x-y-z は正準座標である。
r-θ-φ も，正準座標になる。
実際，\( L( x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} ) \) に
\[
x = x( r, \theta, \phi ) \\
y = y( r, \theta, \phi ) \\
z = z( r, \theta, \phi )
\]
を代入した式を \( K( r, \theta, \phi; \dot{r}, \dot{\theta}, \dot{\phi} ) \) とすると，つぎの二つの式が同じになる：
- 方程式
\[
\frac{ d }{ dt }\ \bigl( \frac{ \partial K }{ \partial \dot{r} }\ \bigr)
- \frac{ \partial K }{ \partial r } = 0 \\
\frac{ d }{ dt }\ \bigl( \frac{ \partial K }{ \partial \dot{\theta} }\ \bigr)
- \frac{ \partial K }{ \partial \theta } = 0 \\
\frac{ d }{ dt }\ \bigl( \frac{ \partial K }{ \partial \dot{\phi} }\ \bigr)
- \frac{ \partial K }{ \partial \phi } = 0
\]
- 座標変換式
\[
x = x( r, \theta, \phi ) \\
y = y( r, \theta, \phi ) \\
z = z( r, \theta, \phi )
\]
を運動方程式
\[
m \ddot{x} = - \frac{ \partial V }{ \partial x } \\
m \ddot{y} = - \frac{ \partial V }{ \partial y } \\
m \ddot{x} = - \frac{ \partial V }{ \partial z }
\]
に代入した式
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