Up 加速度の \( (P, {\bf{v}} ) \)-座標表現 作成: 2022-06-26
更新: 2022-10-08

    \( ( P,\ {\bf{v}} ) \) において発生する加速度は，\( S_a,\ P_a \) を用いてつぎのように表現された：
      \[ \begin{align} ( & - \frac{v^2}{R}\ cos( P_a ) - v\ \Omega\ cos( S_a )\ cos( P_a ), \\ & - \frac{v^2}{R}\ cos( S_a )\ sin( P_a ) - v\ \Omega\ sin( P_a ), \\ & - \frac{v^2}{R}\ sin( S_a )\ sin( P_a ) ) \\ \ \\ - ( & - v\ \Omega\ cos( S_a )\ cos( P_a ) - R \Omega^2 \ cos( P_a ), \\ & - v\ \Omega\ sin( P_a ) - R \Omega^2 \ cos(S_a)\ sin( P_a ), \\ & 0 ) \\ \ \\ =\ & \bigl( \ - \frac{v^2}{R}\ cos( P_a ) + R \Omega^2 \ cos( P_a ), \\ & - \frac{v^2}{R}\ cos( S_a )\ sin( P_a ) + R \Omega^2 \ cos(S_a)\ sin( P_a ), \\ & - \frac{v^2}{R}\ sin( S_a )\ sin( P_a ) \ \bigr) \\ \end{align} \]

    また，\( cos( S_a ),\ sin( S_a ),\ cos( P_a ), sin( P_a ) \) は，\( P \) の座標によってつぎのように表された：

      (1) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0,\ v_x = v_z = 0 \) の場合
        \[ cos( S_a ) = 1 \\ sin( S_a ) = 0 \\ cos( P_a ) = 1 \\ sin( P_a ) = 0 \\ \]
      (2) \( P_y = 0,\ v_y = 0 \) の場合
        \[ cos( S_a ) = 0 \\ sin( S_a ) = \begin{cases} 1 & ( P_z > 0 ) \\ -1 & ( P_z < 0 ) \\ \end{cases} \\ cos( P_a ) = \frac{ P_x }{ R } \\ sin( P_a ) = \frac{ P_z }{ R } \\ \]
      (3) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0 \) の場合
        \[ cos( S_a ) = R\ \frac{ v_y }{ v } \\ sin( S_a ) = R\ \frac{ v_z }{ v } \\ cos( P_a ) = 1 \\ sin( P_a ) = 0 \\ \]
      (4) 上のいずれでもない場合
        \[ cos( S_a ) = \frac{ P_y }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } \\ sin( S_a ) = \frac{ P_z }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } \\ cos( P_a ) = \frac{P_x }{R } \\ sin( P_a ) = \frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R } \\ \]

    よって，つぎのようになる：

    定理
    点 \( P \) において速度 \( {\bf{v}} \) の移動は，\( P \) でつぎの加速度 (慣性力加速度) を受ける：

    (1) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0,\ v_x = v_z = 0 \) の場合
    　　　── \( S \) が赤道の場合
      \[ \begin{align} \bigl( & - \frac{v^2}{R} - v\ \Omega,\ 0,\ 0 \bigr) \\ - ( & - v\ \Omega - R \Omega^2,\ 0,\ 0 ) \\ \ \\ = \bigl( & - \frac{v^2}{R} + R \Omega^2,\ 0, 0 \bigr) \\ \end{align} \]

    (2) \( P_y = 0,\ v_y = 0 \) の場合
    　　　── \( S \) が経線の場合
      \( P_z > 0 \) の場合 \[ \begin{align} \bigl( & - \frac{v^2}{R}\ \frac{ P_x }{ R },\ - v\ \Omega\ \frac{ P_z }{ R },\ - \frac{v^2}{R}\ \frac{ P_z }{ R } \bigr) \\ - \bigl( & - R \Omega^2 \ \frac{ P_x }{ R },\ - v\ \Omega\ \frac{ P_z }{ R },\ 0 \bigr) \\ \ \\ = \bigl( & \bigl( - \frac{v^2 }{R^2} + \Omega^2 \bigr) \ P_x,\ 0,\ - \frac{v^2}{R^2}\ P_z \bigr) \\ \end{align} \]

      \( P_z < 0 \) の場合 \[ \begin{align} \bigl( & - \frac{v^2}{R}\ \frac{ P_x }{ R },\ - v\ \Omega\ \frac{ P_z }{ R },\ \frac{v^2}{R}\ \frac{ P_z }{ R } \bigr) \\ - \bigl( & - R \Omega^2 \ \frac{ P_x }{ R },\ - v\ \Omega\ \frac{ P_z }{ R },\ 0 \bigr) \\ \ \\ = \bigl( & - \frac{v^2 }{R^2}\ P_x\ + \Omega^2\ P_x,\ 0,\ \frac{v^2}{R^2}\ P_z \bigr) \\ \end{align} \]

    (3) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0 \) の場合
    　　　── \( P\) が赤道にある場合
      \[ \begin{align} ( & - \frac{v^2}{R}\ - v\ \Omega\ R\ \frac{ v_y }{ v }\ ,\ 0, \ 0 ) \\ \ \\ - ( & - v\ \Omega\ R\ \frac{ v_y }{ v }\ - R \Omega^2 \ ,\ 0, \ 0 ) \\ \ \\ =\ & \bigl( \ - \frac{v^2}{R}\ + R \Omega^2 \ ,\ 0,\ 0 \ \bigr) \\ \end{align} \]

    (4) 上のいずれでもない場合
      \[ \begin{align} \bigl( & - \frac{v^2\ P_x}{R^2} - v\ \Omega\ \frac{ P_x\ P_y }{ R\ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ , \\ & - \frac{v^2\ P_y}{R^2} - v\ \Omega\ \frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R }, \\ & - \frac{v^2\ P_z}{R^2} \bigr) \\ \ \\ - ( & - v\ \Omega\ \frac{ P_x\ P_y }{ R\ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } - \Omega^2\ P_x, \\ & - v\ \Omega\ \frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R } - \Omega^2 \ P_y, \\ & 0 ) \\ \ \\ = \bigl( & - \frac{v^2\ P_x}{R^2} + \Omega^2\ P_x, \\ & - \frac{v^2\ P_y}{R^2} + \Omega^2 \ P_y, \\ & - \frac{v^2\ P_z}{R^2} \bigr) \\ \end{align} \]