\[
P'_x = R\ \bigl( cos( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) - sin( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)\ \bigr) \\
P'_y = R\ cos( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
P'_z = R\ sin( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)
\]
(1) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0,\ v_x = v_z = 0 \) の場合
── \( S \) が赤道の場合
\[
cos( S_a ) = 1 \\
sin( S_a ) = 0 \\
cos( P_a ) = 1 \\
sin( P_a ) = 0 \\
\]
\[
\begin{align}
P'_x
&= R\ \bigl( cos( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) - sin( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)\ \bigr) \\
&= R\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\
P'_y
&= R\ cos( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
&= R\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\
P'_z
&= R\ sin( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
&= 0
\end{align}
\]
(2) \( P_y = 0,\ v_y = 0 \) の場合
── \( S \) が経線の場合
\[
cos( S_a ) = 0 \\
sin( S_a ) = 1 \\
cos( P_a ) = \frac{ P_x }{ R } \\
sin( P_a ) = \frac{ P_z }{ R } \\
\]
\[
\begin{align}
P'_x
&= R\ \bigl( cos( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) - sin( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)\ \bigr) \\
&= R\ \bigl( \frac{ P_x }{ R }\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)
- \frac{ P_z }{ R }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \bigr) \\
&= P_x\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)
- P_z\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\
\ \\
P'_y
&= R\ cos( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
&= 0 \\
\ \\
P'_z
&= R\ sin( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
&= R\ \bigl( \frac{ P_z }{ R }\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ \frac{ P_x }{ R }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
&= P_z\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)
+ P_x\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)
\end{align}
\]
(3) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0 \) の場合
── \( P \) が赤道上にある場合
\[
cos( S_a ) = \frac{ v_y }{ v } \\
sin( S_a ) = \frac{ v_z }{ v } \\
cos( P_a ) = 1 \\
sin( P_a ) = 0 \\
\]
\[
\begin{align}
P'_x & = R\ \bigl( cos( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) - sin( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)\ \bigr) \\
& = R\ \bigl( 1\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) - 0 \bigr)\ \bigr) \\
&= R\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\
\ \\
P'_y & = R\ cos( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
& = R\ \frac{ v_y }{ v }\ \bigl( 0 + 1 \ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
& = R\ \frac{ v_y }{ v }\ \bigl( sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\
\ \\
P'_z & = R\ sin( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr) \\
& = R\ \frac{ v_z }{ v }\ \bigl( sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\
& = R\ \frac{ v_z }{ v }\ \bigl( sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\
\end{align}
\]
(4) 上のいずれでもない場合
\[
cos( S_a ) = \frac{ P_y }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } \\
sin( S_a ) = \frac{ P_z }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } \\
cos( P_a ) = \frac{P_x }{R } \\
sin( P_a ) = \frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R } \\
\]
\[
\begin{align}
P'_x
&= R\ \bigl(
cos( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
- sin( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)
\ \bigr) \\
&= R\ \bigl(
\frac{P_x }{R }\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
- \frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)
\ \bigr) \\
&= P_x\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
- \sqrt{ R^2 - P_x^2 }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr)
\\
\ \\
P'_y
&= R\ cos( S_a )\ \bigl(
sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
\bigr) \\
&= R\ \frac{ P_y }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ \bigl(
\frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R }\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ \frac{P_x }{R }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
\bigr) \\
&= P_y\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ \frac{ P_x\ P_y }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
\\
\ \\
P'_z
&= R\ sin( S_a )\ \bigl(
sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
\bigr) \\
&= R\ \frac{ P_z }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ \bigl(
\frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R }\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ \frac{P_x }{R }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
\bigr) \\
&= P_z\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
+ \frac{ P_z\ P_x }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } )
\\
\end{align}
\]
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