例えば，(２秒, ３cm)。 これらの対を，「同じ速さを表す」を同値関係にして，類別する。 同値類の集合 (商集合) は，「Hom(時間, 距離)」と表されるところの線型空間 (ベクトル空間) になる。 長方形の面積を，タテの長さとヨコの長さの対で表現する。 例えば，(２cm, ３cm)。 これらの対を，「同じ長方形の面積を表す」を同値関係にして，類別する。 同値類の集合 (商集合) は，「タテ⊗ヨコ」と表されるところの線型空間 (ベクトル空間) になる。 この２つの一般形式は，どうなっているか。 起点は，同じ体 K 上の２つの線型空間 U,V である。 これの積集合 U×V に，つぎの二タイプの同値関係を考える： (u,v)∼(ξu,ξv)(ξ∈K)(ξu,v)∼(u,ξv)(ξ∈K) 前者による商集合は，K 上の線型空間 Hom(U,V) になる。 後者による商集合は，K 上の線型空間 U⊗V になる。 U⊗V は，テンソル積と呼ばれる。 数学の「テンソル」は，「テンソル積」である。 「テンソル」をカテゴリー的に位置づけるような物言いをするとき，その起点は， Hom(U,V) と U⊗V を同列に措くことである。 Hom(U,V) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことがナンセンスであれば， U⊗V に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことはナンセンスなのである。 そして，Hom(U,V) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことは，ナンセンスである。 U⊗V が「U×V」であるのに対し，Hom(U,V) は「V÷U」である。 U の「逆数」── U の双対 U∗ ──を用いて，Hom(U,V) は U∗⊗V，すなわち「U∗×V」になる。 (  「距離÷時間＝速さ」)
こういうわけで，同値関係の微妙な違いで二つに分かれた Hom と ⊗ は， 結局 ⊗ に一元化されることになる。 「量の公式の理論はテンソルの理論になる」というとき，「 ⊗ の片割れであった Hom は考えなくてよいのか」の心配になるわけであるが，この心配は無用となる。 ──晴れて，「量の公式の理論はテンソルの理論」となるのである。 |