つぎの形式が，直交座標の計量テンソルになった (  「直交座標の計量テンソル」)：
\[
\sum_{i,j=1}^n {\delta}_{ij}\, {x^i}{x^j}
\]
これを，直線座標一般に対するつぎの形式に一般化してみる：
\[
\sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, {x^i}{x^j}
\]
この形式は，以下に示すように，直線座標の座標変換で保たれる。
そこで，「直線座標のテンソル」と言うことができる。
直線座標の座標変換
\[
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
=
A\,
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
\ \ \ \ \ \
A = \left(
\begin{array}{ccc}
a^1_1 & \cdots & a^1_n \\
& \cdots & \\
a^n_1 & \cdots & a^n_n \\
\end{array}
\right)
\]
に対し，
\[
\sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, {x^i}{x^j} \\
= \sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, \left( \sum_{k=1}^n a^i_k\,{x^{'}}^k \right) \, \left( \sum_{l=1}^n a^j_l\,{x^{'}}^l \right) \\
= \sum_{k,l=1}^n \left( \sum_{i,j=1}^n d_{ij}\, a^i_k a^j_l \right)\,{x^{'}}^k\,{x^{'}}^l \\
= \sum_{k,l=1}^n {d^{'}}_{kl} \,{x^{'}}^k\,{x^{'}}^l \\
\ \ \ \ \ \ {d^{'}}_{kl} = \sum_{i,j=1}^n d_{kl}\, a^i_k a^j_l
\]
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