 ( || ＝ 1 ) を回転軸とする θ 回転 (0＜θ＜π) は，３次元ベクトル空間の変換を導きます。
すなわち，Q の座標を (qx, qy, qz) とするとき，この変換は (ax, ay, az) につぎのように定まる (bx, by, bz) を対応させるものになります (  回転の計算)：
また，「倍」をこの回転と合わせることができます。 しかし，この「回転・倍」の作用は，３次元ベクトルを「量」とする「２量の比」としては使えません。 なぜなら，任意の (ax, ay, az)， (bx, by, bz) に対し， (ax, ay, az) を (bx, by, bz) に移す「回転・倍」が一意に決まらないからです。 ──実際，可能な回転がいくつもあります。( 「回転・倍」は「２量の比」の表現に使えない)
この「回転がいくつもある」という問題に対し，つぎのように考えてみます：
このように考えてみようというのは，つぎの可能性が考えられるからです：
すなわち，ここに「四元数」の登場となって，「回転」は (ar, ax, ay, az) に対する ( θ, qx, qy, qz) のつぎの作用「ｘ 」になります：
br ＋bx i ＋by j ＋bz k ＝ ( cos(θ/2) ＋ qx sin(θ/2) i ＋ qy sin(θ/2) j ＋ qz sin(θ/2) k ) × (ar ＋ ay j ＋ ay j ＋ az k) × ( cos(ーθ/2) ＋ qx sin(ーθ/2) i ＋ qy sin(ーθ/2) j ＋ qz sin(ーθ/2) k ) そしてこのとき， (0, ax, ay, az) には (0, bx, by, bz) が対応して，これは３次元ベクトル空間での回転になっています。 ( 回転の計算に四元数が使える)
|