Up これの数学は,「アフィン空間・アフィン写像」 作成: 2013-10-19
更新: 2013-10-21

《「量の比例関係のうえの位対応」から導出されるのが,「１次関数」》の数学は，「アフィン空間・アフィン写像」である：

  1. 「数の系」「量の系」「位の系」を，つぎの構造として考える：
        数の系： (数, ＋, ×)
        量の系： ( (量, ＋), ×, (数, ＋, ×) )
        位の系： ( 位, ＋, ( (量, ＋), ×, (数, ＋, ×) ) )
        （構造表記の中で「数」「量」「位」と記しているものは，集合。）

    　　例１. 実数：(, ＋, ×)
    直線上の移動：( (移動, ＋), ×, (, ＋, ×) )
    直線上の位置：( 位置, ＋, ( (移動, ＋), ×, (, ＋, ×) ) )
    　　　2. 実数：(, ＋, ×)
    時間経過 (時間軸上の移動)：( (時間, ＋), ×, (, ＋, ×) )
    時刻 (時間軸上の位置)：( 時刻, ＋, ( (時間, ＋), ×, (, ＋, ×) ) )

    なお，位の要素Ｘ, Ｘ′ と量の要素ｘに対する
        Ｘ′ ＝ Ｘ ＋ ｘ
    の別表記として，
        Ｘ′ − Ｘ ＝ ｘ
    を用いる。


  2. 量の一つの要素ｕ (≠０) を「単位」として固定する。
    量の任意の要素ｑは，「単位の何倍」(「何」は数) の形に一意的に書ける：
        ｑ ＝ ｕ × ｎ
    ｎを，「単位ｕに対するｑの値」と呼ぶ。


    　　例１. 直線上の移動 ( (移動, ＋), ×, (, ＋, ×) ) において，「正方向に ｍ (メートル) 移動」(ｍ) を単位にする。
    このとき，任意の移動が，「何ｍ」(「何」は実数) の形に一意的に書ける。
    　　　2. 時間経過 ( (時間, ＋), ×, (, ＋, ×) ) において，「未来方向に分経過」(分) を単位にする。
    このとき，任意の時間経過が，「何分 」(「何」は実数) の形に一意的に書ける。


    位の一つの要素Ｏを「基準」として固定する。
    位の任意の要素Ｐは，「基準から量どれだけ」さらに「基準から単位の何倍」(「何」は数) の形に一意的に書ける：
        Ｐ ＝ Ｏ ＋ｑ ＝ Ｏ ＋ (ｕ × ｎ)
    ｎを，「枠 (Ｏ, ｕ) に対するＰの値」と呼ぶ。


    　　例１. 高さ：( 位置, ＋, ( (移動, ＋), ×, (, ＋, ×) ) ) において，「上方向に ｍ (メートル) 移動」(ｍ) を単位にし，「海水面」を基準にする。
    このとき，任意の高さが，「海抜何ｍ」(「何」は実数) の形に一意的に書ける。
    　　　2. 時刻：( 時刻, ＋, ( (時間, ＋), ×, (, ＋, ×) ) ) において，「未来方向に年経過」(年) を単位にし，「紀元」を基準にする。
    このとき，任意の時刻が，「紀元何年」(「何」は実数) の形に一意的に書ける。



  3. 量の比例関係は，「一方が 2, 3, ‥‥ 倍のとき他方も 2, 3, ‥‥ 倍」の関係である。
    これは，二つの量の系 ( (量1, ＋), ×, (数, ＋, ×) )，( (量2, ＋), ×, (数, ＋, ×) ) に対し つぎの条件を満たす関数ｆ: 量1 → 量2 のことになる：
        ｆ( ｑ × ｎ ) ＝ｆ( ｑ ) × ｎ 　（ ｑ ∈ 量1，ｎ ∈ 数 )

    上の二つの量の系が，つぎのように位の系に含まれているとする：
        ( 位1, ＋, ( (量1, ＋), ×, (Ｎ, ＋, ×) ) )
        ( 位2, ＋, ( (量2, ＋), ×, (Ｎ, ＋, ×) ) )
    ｆに対しつぎの条件を満たす関数Ｆ: 位1 → 位2 を，「比例関係ｆ: 量1 → 量2 を伴うアフィン関係: 位1 → 位2 」と呼ぶ：
        Ｆ( Ｐ ＋ ｑ ) ＝Ｆ( Ｐ ) ＋ ｆ( ｑ ) 　（Ｐ ∈ 位1，ｑ ∈ 量1 )
    　　あるいは「ー」記号を用いた別表記だと：
        Ｆ( Ｐ′ ) ーＦ( Ｐ ) ＝ ｆ( Ｐ′ ーＰ ) 　（Ｐ, Ｐ′ ∈ 位 )


    　　例.  時刻：( 時刻, ＋, ( (時間, ＋), ×, (, ＋, ×) ) ) と高さ：( 位置, ＋, ( (移動, ＋), ×, (, ＋, ×) ) ) を考える。
    時刻の枠に (紀元, 年) をとり，高さの枠に (海水面, ｍ) をとる。
    ｆ：時間 → 移動 は，測度を考える。
    Ｆ：時刻 → 高さ は，つぎの条件を満たす対応を考える：
    　　時刻Ｐから時間ｑ経ったときの高さ ＝ 時刻Ｐのときの高さからｆ(ｑ) 移動したときの高さ
    ｆは比例関係であり，Ｆはアフィン関係である。
    つぎは，ｆ，Ｆの例である：
    　　ｆ(年) ＝ ｍ × ２（「毎年２ｍ高くなる」)
    　　Ｆ(紀元) ＝ 海抜５ｍ
    　　Ｆ(紀元ｎ年) ＝ Ｆ(紀元) ＋ ｆ(年 × ｎ) ＝ 海抜５ｍ ＋ (ｍ × ２) × ｎ
    　　　(「紀元ｎ年の高さは，紀元のときの高さ５ｍ に２ｍ のｎ倍を加えた高さ」)

「アフィン空間・アフィン写像」は，数学的定式化を示されるとわけがわからないふうになるが，例が示すように，アタリマエにやっていることを数学にしただけである。