「環」の定義を以下に示す。
これが「整数全体の系」の構造の表現になっていることを，確認されたい。
環 Ｚ とは、二つの内算法をもつ集合である。
内算法の一つは「加法 (＋)」であり，Ｚ はこれに関して可換群である：
- 結合法則 : ａ ＋ (ｂ ＋ ｃ) = (ａ ＋ ｂ) ＋ ｃ
- 「零元０」をもつ：
Ｚ の任意の要素ａに対し，ａ＋０＝０＋ａ＝ａ。
Ｚ の任意の要素ａに対し，ａ ＋ ｂ＝ｂ ＋ ａ＝０ となるＺ の要素ｂが存在する。──これを「−ａ」と書く。
- 交換法則 : ａ ＋ ｂ = ｂ ＋ ａ
内算法のもう一つは「乗法 (×)」であり，つぎが成り立つ：
- 結合法則 : ａ × (ｂ × ｃ) = (ａ × ｂ) × ｃ
- 左分配法則 : ａ × (ｂ ＋ ｃ) = (ａ × ｂ) + (ａ × ｃ)
- 右分配法則 : (ａ + ｂ) × ｃ = (ａ × ｃ) + (ｂ × ｃ)
さらにつぎが成り立つとき，Ｚはユニタリー環と呼ばれる：
- 「単位元 1」をもつ：
さらにつぎが成り立つとき，Ｚは可換環と呼ばれる：
- 交換法則 : ａ × ｂ = ｂ × ａ
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