P は，つぎの条件で定まる：  ＝ k 
・ ＝ 0
そしてこの条件より：
・
＝
・
( ー )
＝
・
( ー k )
＝ ・ ー k ||2
＝ ・ ー k
よって， k ＝ ・
＝
qx
ax
＋
qy
ay
＋
qz
az
| | ＝ r に対し：
|2
ー ||2
＝ ax2
＋ ay2
＋ az2
ー k2
B は，つぎの条件で定まる： ・ ＝ 0
| | ＝ ||
・
＝ || || cos θ
＝ r2 cos θ
×
＝ t ( t ＞ 0 )
そしてこの条件より：
・
＝
・
( ー )
＝
・
( ー k )
＝ ・
ー ｋ||2
＝ ・ ー ｋ
よって， k ＝ ・
＝
qx
bx
＋
qy
by
＋
qz
bz
・ ＝ || || cos θ ＝ r2 cos θ では，
・ ＝ ( ー )
・( ー )
＝ ( ー k )
・( ー k )
＝ ・
ー k ・
ー k ・
＋ k2 ・
＝ ax bx ＋ ay by ＋ az bz ー k2 ー k2 ＋ k2 ＝ ax bx ＋ ay by ＋ az bz ー k2 ＝ ax bx ＋ ay by ＋ az bz ー ( ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー r2 ) よって， ax bx ＋ ay by ＋ az bz ＝ ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー r2 ＋ r2 cos θ ×
＝ ( ー )
× ( ー )
＝ ( ー k )
× ( ー k )
＝ ×
ー k ×
ー k ×
＋ k2 ×
＝ (ay bz ー az by, az bx ー ax bz, ax by ー ay bx) ー k (qy bz ー qz by, qz bx ー qx bz, qx by ー qy bx) ー k (ay qz ー az qy, az qx ー ax qz, ax qy ー ay qx) ＝ (ay bz ー az by ー k qy bz ＋ k qz by ー k ay qz ＋ k az qy, az bx ー ax bz ー k qz bx ＋ k qx bz ー k az qx ＋ k ax qz, ax by ー ay bx ー k qx by ＋ k qy bx ー k ax qy ＋ k ay qx) ＝ ( (ay ー k qy) bz ー (az ー k qz) by ー k ay qz ＋ k az qy, (az ー k qz) bx ー (ax ー k qx) bz ー k qx az ＋ k qz, ax (ax ー k qx) by ー (ay ー k qy) bx ー k qy ax ＋ k qx) ay t ＝ | × |
＝ || || sin θ
＝ r2 sin θ
よって， ×
＝ t は，つぎのようになる：
(ay ー k qy) bz ー (az ー k qz) by ＝ k qz ay ー k qy az ＋ r2 qx sin θ (az ー k qz) bx ー (ax ー k qx) bz ＝ k qx az ー k qz ax ＋ r2 qy sin θ (ax ー k qx) by ー (ay ー k qy) bx ＝ k qy ax ー k qx ay ＋ r2 qz sin θ 以上をまとめて：
(2), (4), (5) より，bx が得られる：
ax bx ＋ ay ((ay ー k qy) bx ＋ k qy ax ー k qx ay ＋ r2 qz sin θ) / (ax ー k qx) ＋ az ((az ー k qz) bx ー k qx az ＋ k qz ax ー r2 qy sin θ) / (ax ー k qx) ＝ ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー r2 ＋ r2 cos θ ( ax (ax ー k qx) ＋ ay (ay ー k qy) ＋ az (az ー k qz) ) bx ＋ ay ( k qy ax ー k qx ay ＋ r2 qz sin θ) ＋ az ( ー k qx az ＋ k qz ax ー r2 qy sin θ) ＝ (ax ー k qx) ( ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー r2 ＋ r2 cos θ) ( ax2 ー k qx ax ＋ ay2 ー k qy ay ＋ az2 ー k qz az ) bx ＝ ー ( k qy ax ay ー k qx ay2 ＋ r2 qz ay sin θ ) ー ( ー k qx az2 ＋ k qz az ax ー r2 qy az sin θ ) ＋ ( ax ax2 ＋ ax ay2 ＋ ax az2 ー r2 ax ＋ r2 ax cos θ ) ー k ( qx ax2 ＋ qx ay2 ＋ qx az2 ー r2 qx ＋ r2 qx cos θ ) 左辺 ＝ ( ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー k ( qx ax ＋ qy ay ＋ qz) az ) bx ＝ ( ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー k2 ) bx ＝ r2 bx 右辺 ＝ ー ( k qy ax ay ー k qx ay2 ＋ qz r2 ay sin θ ) ー ( ー k qx az2 ＋ k qz az ax ー r2 qy az sin θ ) ＋ ( ax ax2 ＋ ax ay2 ＋ ax az2 ー r2 ax ＋ r2 ax cos θ ) ー k ( qx ax2 ＋ qx ay2 ＋ qx az2 ー r2 qx ＋ r2 qx cos θ ) ＝ ー k qy ax ay ＋ k qx ay2 ー r2 qz ay sin θ ＋ k qx az2 ー k qz az ax ＋ r2 qy az sin θ ＋ ax ax2 ＋ ax ay2 ＋ ax az2 ー r2 ax ＋ r2 ax cos θ ー k qx ax2 ー k qx ay2 ー k qx az2 ＋ k r2 qx ー k r2 qx cos θ ＝ ＋ ax ax2 ＋ ax ay2 ＋ ax az2 ー k qx ax2 ー k qy ax ay ー k qz az ax ー r2 ax ー r2 qz ay sin θ ＋ r2 qy az sin θ ＋ r2 ax cos θ ＋ k r2 qx ー k r2 qx cos θ ＋ k qx ay2 ー k qx ay2 ＋ k qx az2 ー k qx az2 ＝ ( ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー k ( qx ax ＋ qy ay ＋ qz az ) ) ax ー r2 ax ＋ r2 ( ー qz ay sin θ ＋ qy az sin θ ＋ ax cos θ ＋ k qx ー k qx cos θ ) よって，
同様にして，(2), (3), (5) から by， (2), (3), (4) から bzが，それぞれ得られる：
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