Up 回転の計算 作成: 2007-11-05
更新: 2007-11-09

    ( || ＝ 1 ) を回転軸とする θ 回転 (0＜θ＜π) で，A が B に移るとします。
    また，A の回転面と の交点を P とします。



      註 : 回転の正方向は，つぎのように定義される：
      　　　 の向きと対面して左回り(反時計回り) が正。
      (言い換えると，回転して右ネジが進む方向が の向きになるときが，正。)


    Q の座標 (qx, qy, qz)，A の座標 (ax, ay, az)，角度θ に対する B の座標 (bx, by, bz) は，以下のようにして求めることができます：

    1. P を定める条件：

        ＝ k
        ・ ＝ 0

      　この条件は，以下を含意する：
      • k ＝ qx ax ＋ qy ay ＋ qz az
      • || ＝ r とするとき，
        r2 ＝ ||2 ー ||2 ＝ ax2 ＋ ay2 ＋ az2 ー k2

    2. B を定める条件：

        ・ ＝ 0
        || ＝ ||　
        ・ ＝ || || cos θ ＝ r2 cos θ
        × ＝ t 　( t ＞ 0 )(註)

      　この条件は，以下を含意する：
      • k ＝ qx bx ＋ qy by ＋ qz bz
      • || ＝ ||
      • ax bx ＋ ay by ＋ az bz ＝ r2 cos θ
      • t ＝ | × | ＝ r2 sin θ

    3. 以上の条件を bx, by, bz に関する方程式として，計算する。


    結果は，つぎのようになります：

      bx ＝ ( cosθ ＋ qx2 ー qx2 cosθ ) ax
      ＋ ( qx qy ー qx qy cosθ ー qz sinθ ) ay
      ＋ ( qx qz ー qx qz cosθ ＋ qy sinθ ) az
      by ＝ ( cosθ ＋ qy2 ー qy2 cosθ ) ay
      ＋ ( qy qz ー qy qz cosθ ー qx sinθ ) az
      ＋ ( qy qx ー qy qx cosθ ＋ qz sinθ ) ax
      bz ＝ ( cosθ ＋ qz2 ー qz2 cosθ ) az
      ＋ ( qz qx ー qz qx cosθ ー qy sinθ ) ax
      ＋ ( qz qy ー qz qy cosθ ＋ qx sinθ ) ay

    　　( 計算のプロセス) 　　


    　註 : ベクトル (x, y, z) と (X, Y, Z) に対する 外積 (x, y, z) × (X, Y, Z) は，つぎのベクトル：
    1. (x, y, z) と (X, Y, Z) が張る平面に垂直
    2. 向きは，これを回転軸にして (x, y, z) を (X, Y, Z) に重ねるときの右ねじの進む方向
    3. 大きさは，(x, y, z) と (X, Y, Z) のなす角θに対し，|(x, y, z)| |(X, Y, Z)| sinθ