Up 「数」の数学的定義  

    算数では，自然数と分数の二種類の数を扱います。 中学数学になると「正負の数」という主題名で，整数，有理数の登場となり，さらに「平方根」の主題名で実数が登場します。 高校数学では，実数の主題を進める一方で，あらたに複素数を主題化します。 大学の数学の専門課程では「四元数」の授業があるかも知れません。

    これら「数」が「数」の名で一つに括られるのは，これらに同じ＜形＞が見られているからです。
    数学的には，「数」はこの＜形＞を指すことばです。

    • 歴史的には，「「数」の＜形＞の実現」という意識に導かれていろいろな数がつくられてきたわけではありません。歴史はつぎのようになります：
      1. いろいろな数が，それぞれ何らかの目的に導かれて，つくられる。
      2. いろいろな数がつくられてきたところで，これらを見渡す。
        そこから，共通する＜形＞が浮かんで見えてくる。
      3. この形を定式化し，「数」の定義とする。

    • 「数」の範疇を拡げるほど，「数」の条件は弱まります。例えば，
      • 複素数を考えることで，順序関係は「数」の条件でなくなる。
      • 四元数を考えることで，乗法の可換性は「数」の条件でなくなる。

      一方，数の使用──特に，量処理における数使用──の根拠となる形式は，「数」の条件として堅持されます。


    以上のように考えるとき，「数」(自然数，分数，‥‥ といったそれぞれの系) は，およそ(註0)つぎのように定義されるものになります：

    （以下，内容が専門的になります。──くるしい人は飛ばしてかまいません）

      「数」とは，集合Ｎとその上の二つの内算法＋，×でなる系 (Ｎ,＋,×) で，つぎの条件を満たすものである：

      1. ＋は結合的かつ可換．

      2. ×は結合的で，単位元１∈Ｎ*が存在する．

      3. ＋と×の間に左右分配法則が成り立つ(註1)：

        ａ×(ｂ＋ｃ)＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ
        (ｂ＋ｃ)×ａ＝ｂ×ａ＋ｃ×ａ

      4. 各要素は，＋に関して可約；即ち，

        ａ＋ｂ＝ａ＋ｃ ｂ＝ｃ

      5. Ｎ*の各要素は，×に関して左右可約；即ち，ａ∈Ｎ* に対し，

        ａ×ｂ＝ａ×ｃ ｂ＝ｃ
        ｂ×ａ＝ｃ×ａ ｂ＝ｃ

      6. 任意の要素ａ，ｂに対し，要素ｃで，ａ＋ｃ＝ｂかａ＝ｂ＋ｃとなるものが存在する．

      ここでＮ*は，Ｎが零元０── ＋に関する中立元──をもつときはＮ＼{０} (註2)，そうでないときはＮ自身。
      （「*」の記号法は本サイト全体を通じて用いる)。

      単位元１の存在と条件(4),(5) は，「数使用」の観点から要請されます。（Ｎ,＋) (註3)が群のとき，(4) はこれに含意されます。また（Ｎ*,×）が群のとき，(5) はこれに含意されます。また，×が可換のとき，(3) の条件式は第一式のみでよいことになります。

      なお，要素ａに対しａ＋ａ＝ａが成り立つとき，ａは零元です(註4)。



    (註０) 四元数，およびこれより先の次元拡張を考えるときは，ここで示している条件を弛める/除くの調整が必要になります。 ただしここでは，条件を考える参考として，これだけの条件を挙げておきます。
    (註１) 「加法」,「乗法」の呼称ないし＋，×の記号の使い分けは，それの用法に基づいています (＋は倍の和，×は倍の合成に使う)。一方，形式だけを見ると，両者の区別は専ら分配法則に拠っていることになります。即ち，
    (ｘ＊ｙ)＃ｚ＝ｘ＃ｚ＊ｙ＃ｚ
    の関係にある＊の方が加法 (＋)，＃が乗法 (×) となるわけです。
    (註２) 一般に，集合Ｘとその部分集合Ｙに対し，Ｙに属さないＸの要素全体の集合をＸ＼Ｙで表わします。
    (註３) 数の系の構造は，＋，×で定義される代数的構造，順序関係≦で定義される順序構造，また位相構造，の組合せで，色々に考えられます。どのような構造を考えているかを，ここでは (Ｎ,＋)，(Ｎ,≦)，(Ｎ,＋,≦）のような表記によって示すことにします。
    (註４) 任意の要素ｂに対し，ａ＋ｂ＝(ａ＋ａ)＋ｂ＝ａ＋(ｂ＋ａ)。＋の可約性より，ｂ＝ｂ＋ａ。