Up 「2個/皿 × 3皿 ＝ 6個」の計算 作成: 2011-08-01
更新: 2011-08-06

    「2個/皿 × 3皿 ＝ 6個」の理由づけは，以下のようになる。

    量の＜リンゴの個数＞，＜皿の枚数＞の系を ，それぞれ ( (Qリンゴ, , ＋), ×, (N, ＋, ×) )， ( (Q皿, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) で表す。 ここで，

    1. Qリンゴ は，＜リンゴの個数＞全体の集合。
    2. ＜リンゴの個数＞には和が定義されている。このことを (Qリンゴ, ＋) で表す。
    3. ＜リンゴの個数＞に対しては，数の倍作用が定義されている。
      数の系を (N, ＋, ×) で表し，× を倍作用の記号とする。
      なお，＜リンゴの個数＞の場合，Nにはふつう自然数 を択ぶことになる。
    4. 以上を合わせて，( (Qリンゴ, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と表す。
    5. ( (Q皿, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) を，これと同様に定める。

    「リンゴ１個」と呼んでいるQリンゴの要素を，記号「個」で表す。
    そこで，たとえば「リンゴ２個」は「個× 2」と表される。
    同様に，「皿１枚」と呼んでいるQ皿の要素を，記号「皿」で表す。
    そこで，たとえば「皿３枚」は「皿× ３」と表される。

    ( (Q皿, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と ( (Qリンゴ, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) の間には，比例関係 (準同型) が考えられる。 比例関係 (準同型) 全体の集合を，Hom( Q皿, Qリンゴ) で表す。

    Hom( Q皿, Qリンゴ) の要素に対しては，和と数の倍作用が標準的に定義される：

    1. ｆ, ｇ ∈ Hom( Q皿, Qリンゴ) に対し，関数 (写像) ｆ＋ｇ をつぎのように定義する：
        (ｆ＋ｇ)( x ) ＝ ｆ( x ) ＋ｇ( x ) 　　( x ∈ Q皿 )
    2. ｆ ∈ Hom( Q皿, Qリンゴ) と ｎ∈Ｎ に対し，関数 (写像) ｆ×ｎ をつぎのように定義する：
        (ｆ×ｎ)( x ) ＝ ｆ( x ) ×ｎ 　　( x ∈ Q皿，ｎ∈Ｎ )

    ( (Hom( Q皿, Qリンゴ), ＋), ×, (N, ＋, ×) ) は， ( (Qリンゴ, ＋), ×, (N, ＋, ×) )， ( (Q皿, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と同型な系になる。すなわち，量になる。
    「密度」を量として扱うことがあるが，それはこういう数学をやっていることになる。

      「速さ」の場合だと，つぎのようになる：
      速さとは，時間と距離の間の比例関係のことである。これが量として扱われるときは，( (Hom( Q時間, Q距離), ＋), ×, (N, ＋, ×) ) を考えていることになる。──このときのNには，ふつう正の実数 が択ばれる。

    比例関係は，皿の枚数 (≠ 0) とリンゴの個数の対応ペアを一つ定めれば，それで決定される。
    いま，皿に個が対応する比例関係を「個/皿」で表す。

    関数Ｆ : Hom( Q皿, Qリンゴ) × Q皿 → Qリンゴ を
        Ｆ(ｆ, ｘ) ＝ ｆ(ｘ)　　(ｆ∈ Hom( Q皿, Qリンゴ)，ｘ∈ Q皿 )
    で定義する。 これは複比例関数になるので，Ｆ(ｆ, ｘ) をテンソル積を用いて ｆｘ と書ける：
    特に，個/皿 皿 ＝ 個 である。


    これらの準備を経て遂に，「(個/皿 × ２) (皿 × 3) ＝ 個 × ６」としての「2個/皿 × 3皿 ＝ 6個」の計算へと進むことができる。 即ち，つぎのようになる：

        　 (個/皿 × ２) (皿 × 3)
        ＝Ｆ(個/皿 × ２, 皿 × 3)
        ＝(個/皿 × ２)(皿 × 3)
        ＝((個/皿 × 2)(皿)) × 3
        ＝(((個/皿)(皿)) × 2) × 3
        ＝個 × (2 × 3)
        ＝ 個 × ６

    さらに記号 を専ら使うことにすれば，つぎのようになる：

        　 (個/皿 × ２) (皿 × 3)
        ＝((個/皿 × 2) (皿)) × 3
        ＝(((個/皿) (皿)) × 2) × 3
        ＝個 × (2 × 3)
        ＝ 個 × ６